Si ya conocemos las bases del proceso de frenado (en este enlace) de un automóvil sobre un suelo horizontal, podemos seguir utilizando el modelo simplificado para generalizar un poco más el planteamiento y ver cómo cambia la capacidad de frenado en función de que el automóvil circule -como diríamos llanamente- «cuesta arriba» o «cuesta abajo».
Cuando circulamos «cuesta arriba» el peso del automóvil generará una componente perpendicular al suelo (\(P \, \cos \theta\)) y otra componente paralela al suelo (\(P \, \sin \theta\)). Esta última, al igual que hace la fuerza de rozamiento, \(F_R\), se opondrá al avance del automóvil.
Por tanto, el vehículo se detendrá cuando toda la energía cinética inicial se iguale al trabajo realizado conjuntamente por las dos fuerzas que se oponen al movimiento (\(F_R\) y \(P \, \sin \theta\)).
Expresado analíticamente tendremos:
$$ E_C = \left( F_R + P \, \sin \theta \right) \, d = \left( \mu \, N + m \, g \, \sin \theta \right) \, d $$
En este caso, la fuerza normal viene dada por:
$$ N = P \, \cos \theta = m \, g \, \cos \theta $$
Por tanto, la expresión inicial se transforma en:
$$ \frac{1}{2} \, m \, v^2 = \left( \mu \, m \, g \, \cos \theta + m \, g \, \sin \theta \right) \, d = m \, g \, \left( \mu \, \cos \theta + \sin \theta\right) \, d $$
Despejando, la distancia de frenado queda expresada como:
$$ d = \frac{v^2}{2 \, g \, \left( \mu \, \cos \theta + \sin \theta \right)} $$
El seno del ángulo es lo que llamamos la «pendiente», \(p\), del terreno. Por otro lado, esta pendiente del terreno suele ser lo suficientemente pequeña como para que el coseno del ángulo se pueda aproximar a la unidad. Por tanto:
$$ d = \frac{v^2}{2 \, g \, \left( \mu + p \right)} $$
Para plantear el problema «cuesta abajo», el procedimiento es exactamente el mismo, con la única salvedad de que la componente del peso paralela al suelo contribuye ahora a mantener al automóvil en movimiento, tendiendo así a aumentar la distancia de frenado. Como consecuencia, la fuerza neta que se opone al movimiento viene dada por la diferencia entre la fuerza de frenado y la componente del peso paralela al suelo y, por tanto, el vehículo se detendrá cuando toda la energía cinética inicial se iguale al trabajo realizado por esta fuerza neta.
Expresado analíticamente tendremos:
$$ E_C = \left( F_R - P \, \sin \theta \right) \, d = \left( \mu \, N - m \, g \, \sin \theta \right) \, d $$
Al igual que antes, la fuerza normal viene dada por:
$$ N = P \, \cos \theta = m \, g \, \cos \theta $$
Por tanto, la expresión inicial se transforma en:
$$ \frac{1}{2} \, m \, v^2 = \left( \mu \, m \, g \, \cos \theta - m \, g \, \sin \theta\right) \, d = m \, g \, \left( \mu \, \cos \theta - \sin \theta\right) \, d $$
Despejando, la distancia de frenado queda expresada como:
$$ d = \frac{v^2}{2 \, g \, \left( \mu \, \cos \theta - \sin \theta\right)} $$
Sustituyendo el seno del ángulo como la pendiente, \(p\), del terreno y aceptando de nuevo que el ángulo de inclinación del terreno es lo suficientemente pequeño como para que su coseno se pueda aproximar a la unidad, podemos escribir:
$$ d = \frac{v^2}{2 \, g \, \left( \mu - p \right)} $$
Al igual que ocurría con la frenada en llano, y en ausencia de efectos aerodinámicos, la distancia requerida para detener el automóvil depende esencialmente de la velocidad a la que comienza a frenar y del «agarre» entre los neumáticos y el firme, añadiéndose ahora el efecto de esa pendiente que, en función de que sea «cuesta arriba» o «cuesta abajo», tenderá -respectivamente- a reducir o alargar la distancia de frenado.